包牌、連碰與系統組合：注數、成本與機率怎麼算

在投注站常聽到「包牌」、「連碰」這些說法，指的都是一次買進多組相關聯的號碼。聽起來像進階技巧，但從數學上看只有一件事：把選定的號碼展開成許多注，一注一注計價。

這篇文章示範注數與成本的算法，並釐清一個常見的期待：買的組合變多，中獎機率確實提高，但每一塊錢的期望回收並沒有改變。

名詞整理

• 包牌（系統組合）：選的號碼比一注所需的多，再把這些號碼的所有可能組合全部買下。例如大樂透一注要 6 個號碼，選 8 個號碼包牌，就是買下其中任取 6 個的所有組合。
• 連碰：坊間的說法，指從選定的幾個號碼中，取出固定個數的所有組合，計算方式與包牌相同。

各遊戲實際提供哪些多組投注方式、正式名稱與限制為何，以台灣彩券官方公告與投注站的說明為準。

注數怎麼算：組合數公式

從 n 個號碼中取 k 個的組合數，記為 C(n,k)，公式是 n! ÷ [k! × (n−k)!]。例如從 8 個號碼取 6 個：C(8,6) = (8 × 7) ÷ (2 × 1) = 28 注。注數乘上每注金額就是成本。

每多選一個號碼，注數與金額就成倍跳升：大樂透從 7 個號碼加到 10 個，成本從 350 元變成 10,500 元，足足 30 倍。

其他情形的算法

• 威力彩：第一區選 7 個號碼是 C(7,6) = 7 注；每注 100 元，共 700 元。若第二區 8 個號碼也全選，注數再乘以 8，變成 56 注、5,600 元。
• 固定部分號碼：大樂透固定 5 個號碼，第 6 個號碼把其餘 44 個全部搭配一次，共 44 注、2,200 元。
• 連碰：選 5 個號碼，取其中 2 個的所有組合，是 C(5,2) = 10 組。

中獎機率提高了多少

頭獎機率的算法很單純：買了幾注不重複的組合，就除以全部的組合數。

• 大樂透 7 個號碼包牌：7/13,983,816，等於 1/1,997,688。
• 大樂透 10 個號碼包牌：210/13,983,816，約 1/66,590，換算約 0.0015%。
• 今彩539 7 個號碼包牌：21/575,757，等於 1/27,417。

機率確實隨注數等比例提高，但要留意兩點。第一，花一萬多元買 210 注大樂透，頭獎機率仍只有十萬分之一點五。第二，這個機率和「分開買 210 注各不相同的單注」完全一樣，包牌並沒有額外的加成。

覆蓋率提高，期望值不變

每一注彩券的期望值相同，與它和哪些號碼一起買無關。買 N 注，期望回收是單注的 N 倍，成本也是 N 倍，所以回收金額占成本的比例完全不變，預期的淨支出則隨注數增加。

包牌真正改變的，是結果的分布方式。因為各注之間號碼高度重疊，中獎與否會「綁在一起」：

• 大樂透 7 個號碼包牌，若其中 6 個正好是當期獎號，7 注當中會有 1 注對中 6 個，另外 6 注各對中 5 個。
• 反過來，如果這 7 個號碼當中沒有或只有一個獎號，7 注就全部沒有中獎。

用極端的例子更能看清楚。把今彩539的 575,757 種組合全部買下，要花 28,787,850 元；依獎金表把所有獎項加總，拿回的金額約 16,075,000 元（未扣稅的簡化估算）。覆蓋率到了百分之百，結果仍是支出大於回收。

包牌之前先想清楚

1. 先算總金額：注數增加得比直覺快，下單前先算出成本。
2. 依預算決定注數：而不是先決定要包幾個號碼，再勉強湊錢。
3. 合資要說清楚：多人出資時，事先寫下出資比例與獎金分配方式。

未滿 18 歲不得購買或兌領彩券。想找住家附近的投注站，可以使用本站的彩券行查詢。

常見問題

包牌比分開買單注更容易中頭獎嗎？

在注數相同、組合不重複的前提下，頭獎機率完全相同，都是「注數 ÷ 全部組合數」。

包牌中獎時，獎金怎麼計算？

每一注各自對獎、各自計算獎金，再加總。是否需要扣稅也是以每注獎金是否超過 5,000 元來判斷，實際以台灣彩券官方公告為準。

有沒有用較少注數就能保證中獎的組合？

坊間所謂的縮減組合，頂多能做到「如果你選的這批號碼包含足夠多的獎號，就至少有一注中某個獎」。但前提本身無法保證，而且每一注的機率與期望值都不變。

小結

包牌、連碰與系統組合，都是用組合數把一批號碼展開成多注。覆蓋範圍變大，成本也等比例增加，回收比例則維持原樣。弄懂算法，是為了在下單前清楚知道花了多少錢、買到多少機率，並在能力範圍內理性購彩。