期望值與彩券：用數學看懂一張彩券的價值

一張 50 元的彩券，在數學上到底「值」多少錢？要回答這個問題，機率論提供了一個很好用的工具：期望值。它不能告訴你這一張會不會中，卻能告訴你長期平均下來，每一張彩券能拿回多少。

本文先解釋期望值的意思，再拿今彩539實際算一次，最後談談該怎麼解讀這個數字。

期望值是什麼

期望值的算法是：把每一種可能結果的金額，乘上它發生的機率，再全部加起來。

舉個簡單的例子。假設有個遊戲，花 10 元擲一次骰子，擲出 6 點可以拿 30 元，其他點數沒有獎金。這個遊戲的期望值是 30 × 1/6 = 5 元。意思是如果重複玩非常多次，平均每次拿回 5 元，等於每次平均少掉 5 元。單獨某一次的結果只會是 0 元或 30 元，不會真的出現 5 元——期望值描述的是長期平均，不是單次結果。

實際算一次：今彩539

今彩539從 01–39 選 5 個號碼，每注 50 元，全部組合共 C(39,5) = 575,757 種。它的四個獎項都是固定金額，很適合拿來練習。先算每個獎項有幾種中獎組合：對中 k 個號碼的組合數是 C(5,k) × C(34,5−k)，也就是從 5 個獎號中選 k 個，再從 34 個非獎號中選其餘的號碼。

每一列的貢獻是「組合數 × 獎金 ÷ 575,757」。四項加總：

(8,000,000 + 3,400,000 + 1,683,000 + 2,992,000) ÷ 575,757 = 16,075,000 ÷ 575,757 ≈ 27.9 元

也就是說，一張 50 元的今彩539，依獎金表估算的期望值約 27.9 元，大約是票價的五成六。順帶一提，中任何一個獎項的組合共有 1 + 170 + 5,610 + 59,840 = 65,621 種，中獎機率約 11.4%，其中絕大多數是 50 元的肆獎。

別忘了稅金

公益彩券每注獎金超過 5,000 元，須扣 20% 所得稅與 0.4% 印花稅，實領約 79.6%。今彩539的頭獎與貳獎都超過這個門檻，若以實領金額重算，期望值會降到約 23.9 元。以上是依獎金表所做的簡化估算，沒有考慮同期多注中頭獎時的分配規定，實際以台灣彩券官方公告為準。

為什麼期望值一定低於票價

這不是今彩539獨有的現象，而是所有彩券的共同結構。彩券的銷售金額只有一部分會作為獎金發出（公益彩券約六成上下，實際依各遊戲規範），其餘包含公益彩券盈餘與發行相關的成本。盈餘用於國民年金、全民健保準備與地方政府的社會福利支出，這也是「公益彩券」名稱的由來。

既然發出的獎金總額少於銷售總額，平均每一張彩券能拿回的金額，就必然低於票價。這是制度設計的結果，沒有任何選號方式可以改變它。

頭獎累積時，期望值會變高嗎

威力彩與大樂透的頭獎沒人中時會累積到下一期，這時候帳面上的期望值確實會隨著頭獎金額上升。但解讀時要注意三件事：

• 頭獎可能由多人均分：獎金越高，買的人越多，同時有多注中頭獎的機會也越高。
• 稅後金額較少：高額獎金實領約為 79.6%。
• 機率極低：威力彩頭獎機率是 1/22,085,448，大樂透是 1/13,983,816。期望值是「重複無數次」的平均，而一個人一生能買的注數，遠遠不足以讓這個平均值在自己身上實現。

所以對個人而言，最可能發生的結果始終是沒有中頭獎，這一點不會因為頭獎累積而改變。

常見問題

期望值比票價低，為什麼還是有人中大獎？

期望值是所有人、所有期數的平均。實際的分布非常不平均：極少數人拿到高額獎金，大多數彩券沒有中獎，平均起來才是那個數字。

多買幾注，可以提高期望值嗎？

不能。每一注的期望值相同，買 10 注的期望回收是 10 倍，成本也是 10 倍，回收的比例不變，預期的淨支出反而隨注數增加。

電腦選號和自己選號，期望值有差別嗎？

中獎機率完全相同。每一組號碼被開出的機會都一樣，與號碼是誰選的、怎麼選的無關。

小結

期望值讓我們用一個數字看清彩券的結構：長期平均拿回的金額低於票價，差額的一部分成為公益盈餘。它提醒我們，買彩券比較適合看成一筆娛樂支出，換取的是開獎前的期待與對公益的一點貢獻，而不是一項投資。請依自己的能力設定預算、理性購彩；未滿 18 歲不得購買或兌領彩券。